sistem koordinat

Tugas: Makalah Matematika Untuk Kimia

KELOMPOK 1

1.DICKY SAPUTRA (F1C117009)

2MUHAMMAD HIKAM (F1C117021)

3.ANAS MAULANA (F1C117037)

4.MUHAMAD SYAHRUL RAMADHAN ABDULLAH (F1C117053)

5.DIMAN (F1C117069)

JURUSAN KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HALU OLEO

KENDARI

2018

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT Tuhan semesta alam yang telah melimpahkan rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul “ SISTEM KOORDINAT”.

Sholawat serta salam semoga tetap terlimpahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, para sahabat, serta orang-orang yang berada dijalan-Nya. Makalah ini dibuat dalam rangka untuk menambah wawasan dan pengetahuan mahasiswa dalam mengetahui Sistem Koordinat lebih dalam lagi. Dan sekaligus melakukan apa yang menjadi tugas mahasiswa yang mengikuti matakuliah “Matematika untuk Kimia” . Ungkapanterimakasih kami sedalam-dalamnya kami sampaikan keadaseluruh orang orang yang terlibatdalampembuatanmakalahini yang tidakdapatpenulissebutkansatupersatu

Demikian makalah ini kami buat semoga bermanfaat

Kendari, 27 Februari 2018

Penyusun,

Kelompok 1

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.........................................................................................i

KATA PENGANTAR......................................................................................ii

DAFTAR ISI...................................................................................................iii

BAB. I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang.................................................................................................

1.2Tujuan Instruksional Umum...........................................................................

1.3. Tujuan Instruksional Khusus.........................................................................

BAB. II PEMBAHASAN

2.1. Sejarah Sistem Koordinat...............................................................................

2.2. Definisi Sistem Koordinat...............................................................................

2.3. Jenis-jenis Sistem Koordinat..........................................................................

BAB. III PENUTUP

3.1.Kesimpulan......................................................................................................

3.2.Saran.................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA

BAB I.

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Penggunaanpetadalamkehidupansehariharisudahsangatlumrahdilakukanolehmasyarakat, haltersebutdikarenakanpetasangatmemudahkankitauntukmenemukanlokasiataualamat yang di kehendaki.Peta yang baikjuga dilengkapi garis lintang dan garis bujur. Dalam Ilmu Matematika garis tersebut disebut sistem koordinat. Sepertihalnya ketika kita ingin mencari alamat suatu tempat yang juga sangat berhubungan dengan denah atau peta. Agar kita menemukan tempat tersebut dan tidak tersesat, maka dari itu sangat penting bagi orang-orang pendidikan untuk mempelajari tentang sistem koordinat. Koordinat diambil untuk menjadi bilangan real dalam matematika dasar, tetapi mungkin bilangan kompleks atau elemen-elemen dari sistem yang lebih abstrak seperti sebuah cincin komutatif.

Sistem koordinat merupakan suatu sistem yang menggunakan satu atau lebih bilangan, untuk secara unik menentukan posisi suatu titik atau unsur geometris lain. Penggunaan sistem koordinat memungkinkan masalah dalam geometri untuk diterjemahkan ke dalam masalah-masalah tentang angka dan sebaliknya.Pada makalah ini kami akan membahas lebih dalam tentang sitem koordinat untuk membantu mempermudah dalam memahami tentang sistem koordinat .

1.2. Tujuan Intriksional Umum

Setelah mempelajari bab satu mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang.

1. Bagaimana perkembangansejarah mengenai sistem koordiat?

2. Apakahpengertiandarisistem koordinat?

3. Bagaimanakahpembagian jenis-jenis sistem koordinat?

4. Bagaimana cara menyelesaikan permasalahandalam sistem koordinat?

1.3. Tujuan Instruksi Khusus

Setelah mempelajari bab satu mahasiswa dapat

1. Mengetahuimengnaiperkembangansistem koordinat.

2. Memahami pengertiandari sistem koordinat.

3. Mengetahuidanmemahami jenis-jenis dari sistem koordinat.

4. Memahami rumus-rumus yang digunakan dalam penyelesaian kasus-kasus sistemkoordinat.

BAB II.

PEMBAHASAN

2.1. Sejarah Sistem Koordinat

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbQu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Dengan kelahiran bidang koordinat, terjadilah revolusi besar dalam bidang matematika. Dengan cerdasnya Descartes menyajikan bentuk-bentuk aljabar yang dilahirkan oleh orang-orang Mesir dan Khawarizmi ke dalam bentuk permasalah goemetri secara sistematik.

Pada tahun 1649, Ratu Cristina mengundang Descartes ke Stockholm Swedia guna mengajarinya ilmu filsafat. Dalam pandangan hidupnya, Descartes menolak untuk mempercayai segala sesuatu sampai dia bisa membangun atau menemukan landasan untuk mempercayai hal itu sebagai sebuah kebenaran. Pandangan Descartes yang paling terkenal adalah “Cagito, ego Sum” (saya berfikir oleh karenanya saya ada). Pada tahun 1650, Descartes meninggal dalam undangan Ratu Cristina di Swedia tersebut.

Descartes menyelidiki suatu metode berfikir yang umum yang akan memberikan perkalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itu mengantarnya ke matemtika, yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran di segala bidang. Karya matematikanya yang paling berpengaruhu adalah La Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri tua dan patut dimuliakan dengan AlJabar yang masih bayi. Bersama dengan orang Prancis lainnya, Pierre Fermat (1601-1665), ia diberi pujian dengan gabungan tersebut yang saat ini kita sebut geometri analitik atau geometri koordinat.

2.2. DefinisiSistemKoordinat

Sistem koordiant adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang (R²) atau ruang (R³). Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antaralain sistem koordinat kartesius (Rene Descrate 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidan (R²) letak titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat kartesius dan koordinat polar. Sedangkan pada ruang (R³) letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat kartesius, koordinat silinder dan koordinat bola.

Descartes mampu “mengahadirkan dan menjerat” pengetahuan matematika masa lampau kedalam sistem koordinatnya. Kini Al-jabarnya orang-orang Mesir dan Khawarizmi hadir tidak lagi sebagai bentuk bangun belaka melainkan muncul sebagai bentuk yang lengkap dengan koordinatnya. Dalamgeometri, system koordinatadalahsuatu system yang menggunakansatuataulebihbilangan, atauuntukmenentukansecaraunikposisisuatutitikatauunsurgeometris lain pada manifold sepertiruangeuklides.

2.3. Jenis – JenisSistemKoordinat

2.3.1. SistemKoordinatCartesius

Sebagaimana telah dijelaskan di atas, bahwa letak suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Masing-masing sistem koordinat dalam bidang dijabarkan sebagai berikut:

1) Sistem Koordinat Cartesius

Gambar 1

Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0, y>0), kwadran III (x<0, y<0), dan kwadran IV (x>0, y<0). Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan y. Jika letak titik P(x,y), maka x disebut absis, y disebut ordinat dan P(x,y) disebut koordinat.

Perhatikan gambar berikutini.

Misal P(x₁,y₁) dan terletak di kwadran I haliniberarti x₁>0 dan y₁>0

Gambar 2

Berdasarkan gambar 2 di atas, tampaksuatusegitigayaitu yang salahsatusudutnyasiku-sikudititik M. Menurut teorema Pythagoras

OP²= OM² + MP²

= (x₁-0)² + (y₁-0)²

= x₁² + y₁²

atauditulisdengannotasi

Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x ,y )

Selanjutnya perhatikan gambar berikut.

Gambar 3

Gambar 3 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu terletak pada kuadran II, terletak pada kuadran IV, terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh:

2.3.2. Sistem Kooedinat Bidang Polar

Sistem koordinat Cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)

Gambar 4

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .

(a)

(b)

Gambar 5

Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

atau dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat dengan q sebarang bilangan.

Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat Cartesius dan dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 6

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)

2.3.3. SistemKoordinatBidangkompleks

Bilangankompleksdapatdivisualisasikansebagaititikatau vector posisipada system koordinatduadimensi yang dinamakanbidangkompleksatauDiagram Argan.

Koordinatkartesiusbilangankompleksadalahbagianbilangan rill xdanbagianimajiner y,sedangkankoordinatsirkulernyaadalahr = |z| yang diaebut modulus, danϕ = arg(z),yang disebutjuga argument kompleksdariz (format inidisebut format mod-arg). Dikombinasikandenganrumuseulersehinggadiperoleh :

Z = x + iy = r(cosϕ + I sin ϕ) = re^iΦ

Kadang – kadangnotasi, r cisϕ dapatjugaditemui.

Perlu di perhatikanbahwa argument kompleksadalahunik modulo, 2ᴨ.Jadi, jikaterdapatduanilai argument kompleks yang berbedasebanyakkelipatanbilanganbulatdari 2ᴨ.Kedua argument komplekstersebutadalahsama (ekuivalen).

Denganmenggunakanidentitastrigonometridasar, dapatdiperoleh:

r₁e^iϕ1.r₂e^iϕ2=r₁r₂e^i(ϕ1+ϕ2)

dan

eⁱ⁽^ϕ¹⁺^ϕ²⁾

r₁e^iϕ1r1

r₂e^iϕ2 r2

penjumlahanduabilangankomplekssamasepertidenganpenjumlahan vector daridua vector danperkaliandenganbilangankomleksdapat di visulisasikansebagairotasidanpemanjangansecarabersamaan. Perkaliandengan i adalahrotasi 90 derajatberlawanandenganarahjarum jam (ᴨ/2rad).Secarageometris, persamaan i²= -1 adalahdua kali rotasi 90 derajat yang samadenganrotasi 180 derajat (ᴨ rad).

BABA III.

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Berdasarkanhasildaripembahasanmakadapatdisimpulkanbahwa:

1. Sejarah system koordinatbahwa geometri berasal dari Mesir. Matematikawan Rane Discartes, yang lahir di sebuah Desa La Haye Prancis 1596, adalah orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri ini. Descrates telah menemukan sebuah metode untuk menyajikan sebuah titik sebagai bilangan berpasangan dalam sebuah bidang datar. Bilangan-bilangan tersebut terletak pada dua garis saling tegak lurus satu dengan lainnya dan berpotongan di sebuah titik dinamakan Origin (0,0), biasanya disimbolkan dengan huruf kapital O (0,0).Bidang itu dinamakan bidang koordiant atau lebih dikenal dengan bidang CARTESIUS.

2. Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang (R²) atau ruang (R³). Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antaralain sistem koordinat kartesius (Rene Descrate 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola.

3. Bahwaterdapatbeberapajenis system koordinatdiantaranya : Sistem Koordinat Kartesius, Sistem Koordinat Polar, BidangKompleks.

3.2. Saran

Penulissadarbahwadalampenulisanmakalahinimasihbanyakkekurangan,olehkarenaitu penulis mengharapkan kritikdan saran yang membangun dari pembaca agar penulisan makalah kedepannya jauh lebih baik lagi dari sebelumnya.